یک ماشین حساب مماس معکوس (همچنین به عنوان ماشین حساب مماس کمانی شناخته می شود) arctanجنس (atan) هر عدد واقعی را محاسبه می کند و زاویه ای را که مماس آن برابر با آن مقدار است را برمی گرداند. چه در حال پیدا کردن زاویه شیب با وارد کردن خیز و دویدن به صورت مخالف و مجاور باشید، یا صرفاً یک نسبت مماس را به درجه یا رادیان تبدیل کنید، این زاویه یاب فوراً نتیجه را به شما ارائه می دهد. یک اعشار یا نسبت اضلاع مقابل / مجاور را از یک مثلث قائم الزاویه وارد کنید، بین درجه و رادیان انتخاب کنید و نتایج فوری دریافت کنید. این ماشین حساب برنزه قوسی همچنین یک نمودار مثلث تعاملی ترسیم می کند، نمودار arctan(x) را رسم می کند، و یک جدول مماس کامل را نمایش می دهد - همه چیزهایی که برای مثلثات، حساب دیفرانسیل و انتگرال، و محاسبات ناوبری در یک مکان مورد نیاز است.
مماس معکوس ماشین حساب
نتیجه
محاسبه شده است arctan(1)
45°
درجه 45°
رادیان ها 0.7854 rad
گرادیان ها 50 grad
π کسر π/4
مثلث راست تعاملی
پس از هر محاسبه، مثلث به روز می شود، بنابراین می توانید ببینید θ = arctan (مقابل / مجاور).
نمودار مماس معکوس
نمودار ورودی فعلی را مشخص می کند تا بتوانید عدد را با زاویه آن مقایسه کنید.
مماس معکوس چیست؟
مماس معکوس که به صورت tan⁻¹(x)، arctan(x) یا atan(x) نوشته میشود، زاویهای را برمیگرداند که مماس آن برابر با x است. در کتابهای درسی اروپایی و آلمانی، همین عملکرد به صورت arcus tangens یا arcus tangens ظاهر میشود. در دایره واحد، arctan زاویه ای را برمی گرداند که با هر مقدار مماس در طول دایره مطابقت دارد.
در یک مثلث قائم الزاویه، tan(θ) = مقابل / مجاور، بنابراین arctan(مقابل / مجاور) زاویه θ را نشان می دهد.
دامنه آن همه اعداد حقیقی است و محدوده اصلی آن (-π/2، π/2) یا (90-°، 90°) است.
تعاملی: دامنه و محدوده arctan(x)
نوار لغزنده را حرکت دهید تا ببینید که چگونه هر ورودی واقعی به زاویه ای بین -90 درجه و 90 درجه نگاشت می شود.
چگونه مماس معکوس را محاسبه کنیم؟
وقتی x یک مقدار اعشاری یا یک نسبت است از θ = arctan(x) استفاده کنید.
- مقدار x را مشخص کنید.
- از یک ماشین حساب علمی یا یک تابع atan() برای محاسبه arctan(x) استفاده کنید.
- اگر به جای رادیان به درجه نیاز دارید، نتیجه را تبدیل کنید. نتیجه رادیان را در 180/π ضرب کنید تا به درجه برسید، یا یک مقدار درجه را در π/180 ضرب کنید تا دوباره به رادیان تبدیل کنید. در هر صورت فرمول معکوس برنزه θ = arctan(x) در کل باقی می ماند.
تعاملی: محاسبه گام به گام
مقداری را تایپ کنید تا هر مرحله فوراً به روز شود.
1ورودی: x = 1
2arctan(1) = 0.7854 rad
3تبدیل کنید: 0.7854 × 180/π = 45°
چگونه از این ماشین حساب مماس معکوس استفاده کنیم؟
ورودی اعشاری یا مخالف/ مجاور را انتخاب کنید، درجه یا رادیان را انتخاب کنید و Calculate را فشار دهید.
روش های ورودی
1
ارزش اعشاری
حالت اعشاری مقادیری مانند 0.5، 1 یا -2.75 را می پذیرد.
2
مقابل / مجاور
حالت مخالف / مجاور ابتدا دو طرف را تقسیم می کند و سپس arctan اعمال می شود.
پانل نتیجه چندین فرمت پاسخ را برای استفاده سریع نشان می دهد.
چگونه از مماس معکوس در ماشین حساب استفاده کنیم؟
کلید "2nd" یا "Shift" را در یک ماشین حساب علمی (مانند Casio یا TI-84) فشار دهید، سپس دکمه "tan" را فشار دهید تا به tan⁻1 دسترسی پیدا کنید.
- ماشین حساب را روشن کنید و حالت زاویه را روی درجه (DEG) یا رادیان (RAD) تنظیم کنید.
- "2nd" یا "Shift" را فشار دهید. این کلید عملکردهای ثانویه چاپ شده در بالای هر دکمه را فعال می کند. این ترکیب کلید tan shift در مدل های Casio، TI-84 و Sharp جهانی است. همیشه قبل از فشار دادن حالت زاویه خود را روی DEG یا RAD تنظیم کنید، زیرا همان ورودی بسته به حالت، اعداد مختلفی را برمیگرداند.
- کلید "tan" را فشار دهید. صفحه نمایش "tan⁻¹(" یا "atan(") را نشان می دهد.
- مقدار را تایپ کنید و "=" را فشار دهید.
راهنمای تصویری: یافتن برنزه-1 در ماشین حساب
تصویر زیر دکمههای دقیقی را برای فشار دادن روی یک ماشینحساب علمی TI-84 نشان میدهد.
یافتن tan⁻1(1) = 45° در یک ماشین حساب TI-84
چگونه مماس معکوس را بدون ماشین حساب محاسبه کنیم؟
از بسط arctangent Taylor سری برای تقریب arctan(x) با دست استفاده کنید: arctan(x) = x − x³/3 + x5/5 − x7/7 + … این سری زمانی که |x| ≤ 1 همگرا می شود.
- سری تیلور (مکلورین سری). ابزار تقریب سری arctangent از x − x³/3 + x5/5 − x7/7 استفاده می کند. اصطلاحات بیشتر دقت بالاتری میدهند.
- مقادیر شناخته شده زاویه. نتایج رایج را به خاطر بسپارید: arctan(0) = 0°، arctan(1) = 45°، arctan(√3) = 60°.
- الگوریتم CORDIC. این روش در سطح سخت افزار arctanضریب را از طریق چرخش های مکرر زاویه محاسبه می کند.
تعاملی: تقریب سری تیلور
انتخاب کنید که چه تعداد عبارت درج شود. مشاهده کنید که چگونه تقریب به سمت مقدار واقعی همگرا می شود.
نمودار مماس معکوس
نمودار arctan(x) منحنی S شکل فزاینده ای است که از مبدا می گذرد و به ± π/2 نزدیک می شود.
- دارای مجانب افقی در y = -π/2 و y = π/2.
- عجیب است، بنابراین arctan(-x) = -arctan(x).
- همیشه از چپ به راست افزایش می یابد.
تعاملی: arctan(x) نمودار
ماوس را روی نمودار نگه دارید تا مقادیر دقیق را بررسی کنید.
جدول مماس
مقادیر معکوس قهوهای مایل به زرد در 0 درجه، 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه و 90 درجه تقریباً در هر دوره مثلثاتی ظاهر می شوند و ارزش حفظ کردن را دارند. روی هر ردیف جدول کلیک کنید تا آن مقدار استاندارد در ماشین حساب بارگیری شود.
| x | arctan(x) درجه | arctan(x) رادیان ها | π کسر |
|---|---|---|---|
| −∞ | −90° | −1.5708 rad | −π/2 |
| −√3 ≈ −1.7321 | −60° | −1.0472 rad | −π/3 |
| −1 | −45° | −0.7854 rad | −π/4 |
| −1/√3 ≈ −0.5774 | −30° | −0.5236 rad | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 rad | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.5774 | 30° | 0.5236 rad | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 rad | π/4 |
| √3 ≈ 1.7321 | 60° | 1.0472 rad | π/3 |
| +∞ | 90° | 1.5708 rad | π/2 |
علامت گذاری برای معکوس مماس
نماد معکوس مماس 3 شکل استاندارد دارد: tan⁻¹(x)، arctan(x) و atan(x).
- tan⁻¹(x) رایج در ماشین حساب های فیزیکی
- arctan(x) استاندارد در ریاضیات رسمی
- atan(x) برنامه نویسی و نمادگذاری نرم افزار.
برخی از دانشآموزان بهطور غیررسمی آن را ضد مماس مینامند، زیرا کاری را که مماس انجام میدهد معکوس میکند، اگرچه این اصطلاح ریاضی استاندارد نیست.
تعاملی: مقایسه نمادها
روی هر نماد کلیک کنید تا جایی که در ریاضیات، برنامه نویسی و ماشین حساب ظاهر می شود برجسته شود.
tan⁻¹(x) رایج ترین نماد در ماشین حساب های فیزیکی است. بالانویس -1 نشان دهنده "عملکرد معکوس" است، نه "1 / tan(x)".
یافتن tan-1 اعداد منفی
tan-1 اعداد منفی یک زاویه منفی برمی گرداند. چون arctangent یک تابع فرد است، arctan(-x) = -arctan(x).
- arctan(-1) = -45 درجه یا -π/4 رادیان
- arctan(-√3) = -60 درجه یا -π/3 رادیان
برنزه-1 از -1 چقدر است؟
tan-1 -1 -45 درجه است (-π/4 رادیان یا -0.7854 رادیان).
تعاملی: کاوشگر ارزش منفی
هر عدد منفی را وارد کنید تا ببینید arctan چگونه ورودی های منفی را به زوایای منفی ترسیم می کند.
arctan(-1) = -45° = -π/4 rad
arctan(1) = 45 درجه ↔ arctan(-1) = -45 درجه
سوالات متداول
پاسخ به سوالات رایج در مورد مماس معکوس.
بله، tan-1 نماد ریاضی استاندارد برای مماس معکوس است که arctangent یا arctan نیز نامیده میشود. بالانوشت ⁻1 به معنای 1/tan نیست (که کتانژانت است). در عوض، tan⁻¹(x) می پرسد: "مماس چه زاویه ای برابر با x است؟" برای مثال، tan-1(1) = 45° زیرا tan(45°) = 1. همچنین ممکن است آن را به صورت arctan(x) یا atan(x) در زبانهای برنامهنویسی نوشته شود.
تابع مماس یک زاویه می گیرد و نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور را در یک مثلث قائم الزاویه برمی گرداند. مماس معکوس (arctan) معکوس را انجام می دهد: نسبتی را می گیرد و زاویه مربوطه را برمی گرداند. به عنوان مثال، tan(45°) = 1، بنابراین arctan(1) = 45°. مماس دامنه ای از همه اعداد حقیقی به جز مضرب های فرد 90 درجه دارد، در حالی که مماس معکوس همه اعداد حقیقی را می پذیرد و زوایای بین 90- درجه و 90 درجه (-π/2 تا π/2 رادیان) را خروجی می کند.
دکمه مماس معکوس بالای کلید برنزه در اکثر ماشین حساب های علمی قرار دارد. برای دسترسی به آن، ابتدا کلید 2 یا Shift را فشار دهید، سپس دکمه tan را فشار دهید. صفحه نمایش مایل به زرد⁻1 یا arctan را نشان خواهد داد. در ماشینحسابهای نموداری مانند TI-84، شماره 2 و سپس TAN را فشار دهید. در Casio ماشین حساب، SHIFT را فشار دهید و سپس برنزه کنید.
از بسط سری تیلور استفاده کنید: arctan(x) = x − x³/3 + x5/5 − x7/7 + ... برای |x| ≤ 1. برای مقادیر رایج، زوایای کلید را به خاطر بسپارید: arctan(0) = 0°، arctan(1/[√3) = 30°، arctan(1) = 45°، [[6](√3) = 60°. همچنین می توانید از الگوریتم CORDIC استفاده کنید. برای مقادیر خارج از [−1, 1]، از هویت arctan(x) = π/2 - arctan(1/x) برای x > 0 استفاده کنید.
مماس معکوس 1 45 درجه (یا π/4 رادیان) است. این به این دلیل است که tan(45°) = 1. در مثلث قائم الزاویه ای که اضلاع مقابل و مجاور آن برابر هستند، زاویه 45 درجه است.
برنزه یک زاویه را به نسبت (مقابل/ مجاور) تبدیل میکند، در حالی که برنزه معکوس (arctan) یک نسبت را دوباره به یک زاویه تبدیل میکند. قهوهای مایل به زرد دوره ای است و می تواند هر عدد واقعی را تولید کند، در حالی که arctan همیشه یک زاویه منحصر به فرد در محدوده (90- درجه، 90 درجه) برمی گرداند.
بله، از فرمول =ATAN(value) در اکسل استفاده کنید. این نتیجه را بر حسب رادیان برمی گرداند. برای تبدیل به درجه، از =DEGREES(ATAN(value)) استفاده کنید. اکسل همچنین =ATAN2(x, y) برای دو آرگومان arctangent را پشتیبانی می کند.
آیفون خود را به جهت افقی بچرخانید تا ماشین حساب علمی آشکار شود. روی دکمه دوم ضربه بزنید تا به عملکردهای معکوس بروید. دکمه برنزه به برنزه-1 تغییر می کند. مقدار خود را وارد کنید و روی tan⁻1 ضربه بزنید.
در یک مثلث قائم الزاویه، مماس معکوس نسبت مقابل/ مجاور برابر با زاویه آن راس است. اگر مقابل = 3 و مجاور = 4، آنگاه arctan(3/4) ≈ 36.87 درجه است.
6 کاربرد رایج وجود دارد: (1) ناوبری و GPS برای زوایای باربری، (2) مهندسی برای زوایای شیب، (3) فیزیک برای بردارهای نیرو، (4) گرافیک کامپیوتری برای چرخش، (5) مهندسی برق برای زوایای فاز، (6) نجوم برای زوایای ارتفاع.
از طریق tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). اگر θ = arctan(x)، سپس sin(θ) = x/√(1+x²) و cos(θ) = 1/√(1+x²). مشتق arctan(x) 1/(1+x²) است.
بله نسبت شیب برابر است با مخالف بر مجاور در مثلث قائم الزاویه. صعود خود را به عنوان طرف مقابل و دویدن خود را به عنوان سمت مجاور وارد کنید و ابزار زاویه شیب را هم در درجه و هم رادیان برمی گرداند.
این ابزار به طور خاص برای arctangent ساخته شده است. اگر به یک ماشین حساب کامل تریگ معکوس نیاز دارید که آرکسین و آرکوس را در کنار arctan بپوشاند، به ابزار مثلثات معکوس گسترده تری نیاز دارید.