حسابگر تانژانت معکوس که به نام حسابگر آرکتانژانت نیز یاد میشود، arctan یا atan هر عدد حقیقی را محاسبه میکند و زاویهای را نشان میدهد که تانژانت آن برابر همان مقدار است. اگر زاویۀ یک شیب را با وارد کردن بالا رفتن و پیش رفتن به حیث ضلع مقابل و ضلع مجاور پیدا میکنید، یا تنها میخواهید یک نسبت تانژانت را به درجه یا رادیان تبدیل نمایید، این ابزار جواب را فوری به شما میدهد. یک عدد اعشاری یا نسبت ضلع مقابل / ضلع مجاور را از یک مثلث قایمزاویه وارد کنید، بین درجه و رادیان انتخاب نمایید و نتیجه را همان لحظه ببینید. این حسابگر آرکتانژانت همچنان یک شکل تعاملی مثلث، نمودار arctan(x) و جدول کامل تانژانت را نشان میدهد؛ یعنی هر چیزی که برای مثلثات، حساب دیفرانسیل و انتگرال و محاسبات جهتیابی نیاز دارید در یک جا آماده است.
تانژانت معکوس حسابگر
نتیجه
محاسبه شد arctan(1)
45°
درجه 45°
رادیان 0.7854 rad
گرادیان 50 grad
کسر π π/4
مثلث قایمزاویۀ تعاملی
پس از هر محاسبه، مثلث تازه میشود تا ببینید که θ = arctan(ضلع مقابل / ضلع مجاور).
نمودار تانژانت معکوس
نمودار مقدار فعلی ورودی را نشانی میکند تا بتوانید عدد را با زاویۀ مربوط آن مقایسه نمایید.
تانژانت معکوس چیست؟
تانژانت معکوس که به شکل tan⁻¹(x)، arctan(x) یا atan(x) نوشته میشود، زاویهای را برمیگرداند که تانژانت آن برابر x است. در بعضی کتابهای درسی اروپایی و آلمانی همین تابع با نام arcus tangens یا arkus tangens آمده است. روی دایرۀ واحد، arctan زاویهای را میدهد که با هر مقدار تانژانت روی دایره مطابقت دارد.
در یک مثلث قایمزاویه، tan(θ) = ضلع مقابل / ضلع مجاور است؛ پس arctan(ضلع مقابل / ضلع مجاور) زاویۀ θ را میدهد.
دامنۀ این تابع تمام اعداد حقیقی است و بازۀ اصلی آن (-π/2, π/2) یا (-90°, 90°) میباشد.
تعاملی: دامنه و بازۀ arctan(x)
لغزنده را حرکت دهید تا ببینید هر ورودی حقیقی چگونه به زاویهای میان -90° و 90° نگاشته میشود.
تانژانت معکوس چگونه محاسبه میشود؟
وقتی x یک مقدار اعشاری یا یک نسبت باشد، از فرمول θ = arctan(x) استفاده نمایید.
- مقدار x را مشخص کنید.
- برای محاسبۀ arctan(x) از ماشین حساب علمی یا تابع atan() استفاده نمایید.
- اگر جواب را به جای رادیان به درجه میخواهید، آن را تبدیل کنید. نتیجۀ رادیانی را در 180/π ضرب نمایید تا درجه به دست آید، یا مقدار درجه را در π/180 ضرب کنید تا دوباره به رادیان تبدیل شود. در هر حالت، فرمول تانژانت معکوس همان θ = arctan(x) باقی میماند.
تعاملی: محاسبۀ قدم به قدم
یک مقدار وارد کنید تا هر قدم فوری تازه شود.
1ورودی: x = 1
2arctan(1) = 0.7854 rad
3تبدیل: 0.7854 × 180/π = 45°
چگونه از این حسابگر تانژانت معکوس استفاده کنیم؟
ورودی اعشاری یا ضلع مقابل/ضلع مجاور را انتخاب کنید، درجه یا رادیان را برگزینید و دکمۀ محاسبه را بزنید.
روشهای وارد کردن مقدار
1
مقدار اعشاری
حالت اعشاری مقدارهایی مانند 0.5، 1 یا -2.75 را میپذیرد.
2
ضلع مقابل / ضلع مجاور
حالت ضلع مقابل / ضلع مجاور نخست دو ضلع را تقسیم میکند و سپس arctan را روی نتیجه اجرا مینماید.
پنل نتیجه چند قالب جواب را نشان میدهد تا بتوانید سریع از آن استفاده کنید.
چگونه تانژانت معکوس را در ماشین حساب استفاده کنیم؟
در یک ماشین حساب علمی مانند Casio یا TI-84، کلید «2nd» یا «Shift» را فشار دهید و سپس کلید «tan» را بزنید تا به tan⁻¹ دسترسی پیدا کنید.
- ماشین حساب را روشن کنید و حالت زاویه را روی درجه (DEG) یا رادیان (RAD) تنظیم نمایید.
- کلید «2nd» یا «Shift» را فشار دهید. این کلید عملکردهای دوم را که بالای هر دکمه چاپ شدهاند فعال میکند. این ترکیب Shift + tan در مدلهای Casio، TI-84 و Sharp رایج است. پیش از وارد کردن مقدار، حتماً حالت زاویه را روی DEG یا RAD بگذارید؛ زیرا یک ورودی واحد در حالتهای مختلف جوابهای متفاوت میدهد.
- کلید «tan» را فشار دهید. روی صفحه معمولاً «tan⁻¹(» یا «atan(» ظاهر میشود.
- مقدار را وارد کنید و کلید «=» را فشار دهید.
راهنمای تصویری: پیدا کردن tan⁻¹ در ماشین حساب
تصویر پایین نشان میدهد که در ماشین حساب علمی TI-84 دقیقاً کدام دکمهها را باید فشار دهید.
پیدا کردن tan⁻¹(1) = 45° در ماشین حساب TI-84
چگونه تانژانت معکوس را بدون ماشین حساب محاسبه کنیم؟
برای تقریب arctan(x) با دست، از بسط سری تیلور آرکتانژانت استفاده کنید: arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... این سری وقتی همگرا میشود که |x| ≤ 1 باشد.
- سری تیلور (سری مکلورین). ابزار تقریب آرکتانژانت از x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 استفاده میکند. هر قدر جملههای بیشتری بگیرید، دقت بالاتر میرود.
- مقدارهای زاویۀ شناختهشده. نتیجههای رایج را به خاطر بسپارید: arctan(0) = 0°، arctan(1) = 45°، arctan(√3) = 60°.
- الگوریتم CORDIC. این روش سختافزاری آرکتانژانت را با چرخشهای پیدرپی زاویه محاسبه میکند.
تعاملی: تقریب سری تیلور
انتخاب کنید چند جمله شامل شود و ببینید تقریب چگونه به مقدار واقعی نزدیک میشود.
نمودار تانژانت معکوس
نمودار arctan(x) یک منحنی افزایشی به شکل S است که از مبدأ میگذرد و به ±π/2 نزدیک میشود.
- دارای مجانبهای افقی در y = -π/2 و y = π/2 است.
- تابع فرد است؛ یعنی arctan(-x) = -arctan(x).
- همیشه از چپ به راست افزایش مییابد.
تعاملی: نمودار arctan(x)
روی نمودار اشاره کنید تا مقدارهای دقیق را بررسی نمایید.
جدول تانژانت
مقدارهای تانژانت معکوس در 0°، 30°، 45°، 60° و 90° تقریباً در هر درس مثلثات دیده میشوند و حفظ کردن آنها مفید است. روی هر ردیف جدول کلیک کنید تا همان مقدار معیاری در حسابگر بار شود.
| x | arctan(x) درجه | arctan(x) رادیان | کسر π |
|---|---|---|---|
| −∞ | −90° | −1.5708 rad | −π/2 |
| −√3 ≈ −1.7321 | −60° | −1.0472 rad | −π/3 |
| −1 | −45° | −0.7854 rad | −π/4 |
| −1/√3 ≈ −0.5774 | −30° | −0.5236 rad | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 rad | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.5774 | 30° | 0.5236 rad | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 rad | π/4 |
| √3 ≈ 1.7321 | 60° | 1.0472 rad | π/3 |
| +∞ | 90° | 1.5708 rad | π/2 |
نمادهای تانژانت معکوس
برای تانژانت معکوس سه نماد معیاری به کار میرود: tan⁻¹(x)، arctan(x) و atan(x).
- tan⁻¹(x) در ماشین حسابهای فزیکی و کتابهای درسی بسیار رایج است.
- arctan(x) نماد رسمیتر ریاضی است، بهویژه در حساب دیفرانسیل و انتگرال.
- atan(x) نماد رایج در زبانهای برنامهنویسی و نرمافزارها است.
بعضی شاگردان به طور غیررسمی آن را ضد تانژانت میگویند، چون عمل تانژانت را برعکس میکند؛ اما این اصطلاح ریاضی معیاری نیست.
تعاملی: مقایسۀ نمادها
روی هر نماد کلیک کنید تا ببینید بیشتر در ریاضی، برنامهنویسی یا ماشین حساب کجا به کار میرود.
tan⁻¹(x) رایجترین نماد در ماشین حسابهای فزیکی است. بالانویس -1 به معنی «تابع معکوس» است، نه «1 / tan(x)».
پیدا کردن tan⁻¹ برای عددهای منفی
tan⁻¹ برای عددهای منفی زاویۀ منفی برمیگرداند. چون arctan یک تابع فرد است، arctan(-x) = -arctan(x).
- arctan(-1) = -45° یا -π/4 رادیان
- arctan(-√3) = -60° یا -π/3 رادیان
tan⁻¹ عدد -1 چند است؟
tan⁻¹ عدد -1 برابر -45° است؛ یعنی -π/4 رادیان یا تقریباً -0.7854 رادیان.
تعاملی: بررسی مقدار منفی
هر عدد منفی را وارد کنید تا ببینید arctan چگونه ورودیهای منفی را به زاویههای منفی تبدیل میکند.
arctan(-1) = -45° = -π/4 rad
arctan(1) = 45° ↔ arctan(-1) = -45°
پرسشهای رایج
پاسخ به پرسشهای رایج دربارۀ تانژانت معکوس.
بلی، tan⁻¹ نماد معیاری ریاضی برای تانژانت معکوس است و به آن arctangent یا arctan نیز گفته میشود. بالانویس ⁻¹ به معنی 1/tan نیست؛ آن مقدار کتانژانت میشود. tan⁻¹(x) میپرسد: کدام زاویه تانژانت برابر x دارد؟ برای نمونه، tan⁻¹(1) = 45° چون tan(45°) = 1. در زبانهای برنامهنویسی ممکن است همین تابع را به شکل arctan(x) یا atan(x) ببینید.
تابع تانژانت یک زاویه را میگیرد و نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور را در مثلث قایمزاویه برمیگرداند. تانژانت معکوس یا arctan برعکس آن عمل میکند: یک نسبت را میگیرد و زاویۀ مربوط را نشان میدهد. مثلاً tan(45°) = 1، پس arctan(1) = 45°. تانژانت برای زاویههای خاصی مانند 90° تعریف نمیشود، اما تانژانت معکوس همۀ اعداد حقیقی را میپذیرد و زاویههایی میان -90° و 90° یا -π/2 تا π/2 رادیان میدهد.
در بیشتر ماشین حسابهای علمی، تانژانت معکوس بالای کلید tan قرار دارد. برای استفاده، نخست کلید 2nd یا Shift را فشار دهید و بعد کلید tan را بزنید. روی صفحه معمولاً tan⁻¹ یا arctan ظاهر میشود. در ماشین حسابهایی مانند TI-84، 2nd و سپس TAN را فشار دهید. در Casio، SHIFT و سپس tan را بزنید.
میتوانید از بسط سری تیلور استفاده کنید: برای |x| ≤ 1، arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... . برای مقدارهای رایج، زاویههای کلیدی را حفظ کنید: arctan(0) = 0°، arctan(1/√3) = 30°، arctan(1) = 45° و arctan(√3) = 60°. همچنان میتوان از الگوریتم CORDIC استفاده کرد. برای مقدارهای بیرون از بازۀ [-1, 1]، وقتی x > 0 باشد از رابطۀ arctan(x) = π/2 - arctan(1/x) کمک بگیرید.
تانژانت معکوس 1 برابر 45° یا π/4 رادیان است. دلیلش این است که tan(45°) = 1. در یک مثلث قایمزاویه که ضلع مقابل و ضلع مجاور برابر باشند، زاویه 45 درجه است.
tan یک زاویه را به نسبت ضلع مقابل بر ضلع مجاور تبدیل میکند، اما inverse tan یا arctan همان نسبت را دوباره به زاویه تبدیل مینماید. تابع tan دورهای است و میتواند هر عدد حقیقی را تولید کند، در حالی که arctan همیشه یک زاویۀ یکتا در بازۀ (-90°, 90°) برمیگرداند.
بلی. در Excel از فرمول =ATAN(value) استفاده کنید. این فرمول نتیجه را به رادیان میدهد. برای تبدیل به درجه از =DEGREES(ATAN(value)) استفاده نمایید. Excel همچنان برای آرکتانژانت دو ورودی، تابع =ATAN2(x, y) را پشتیبانی میکند.
آیفون را به حالت افقی بچرخانید تا ماشین حساب علمی ظاهر شود. برای دیدن تابعهای معکوس، دکمۀ 2nd را لمس کنید. دکمۀ tan به tan⁻¹ تغییر میکند. مقدار خود را وارد کنید و روی tan⁻¹ بزنید.
در یک مثلث قایمزاویه، تانژانت معکوس نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور برابر زاویۀ همان رأس است. اگر ضلع مقابل = 3 و ضلع مجاور = 4 باشد، آنگاه arctan(3/4) تقریباً 36.87° است.
۶ کاربرد رایج دارد: ۱. جهتیابی و GPS برای زاویههای مسیر، ۲. انجنیری برای زاویههای شیب، ۳. فزیک برای بردارهای نیرو، ۴. گرافیک کمپیوتر برای چرخش، ۵. انجنیری برق برای زاویههای فاز، ۶. نجوم برای زاویههای ارتفاع.
این رابطه از tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) میآید. اگر θ = arctan(x) باشد، آنگاه sin(θ) = x/√(1+x²) و cos(θ) = 1/√(1+x²) است. مشتق arctan(x) برابر 1/(1+x²) میباشد.
بلی. نسبت شیب در یک مثلث قایمزاویه همان نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. مقدار بالا رفتن را به حیث ضلع مقابل و مقدار پیش رفتن را به حیث ضلع مجاور وارد کنید؛ ابزار زاویۀ شیب را هم به درجه و هم به رادیان نشان میدهد.
این ابزار مشخصاً برای arctangent ساخته شده است. اگر حسابگری میخواهید که همراه با arctan، arcsin و arccos را هم پوشش دهد، به یک ابزار گستردهتر مثلثات معکوس نیاز دارید.