Μια αριθμομηχανή αντίστροφης εφαπτομένης (επίσης γνωστή ως αριθμομηχανή εφαπτομένης τόξου) υπολογίζει την arctangent (atan) οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού και επιστρέφει τη γωνία της οποίας η εφαπτομένη ισούται με αυτήν την τιμή. Είτε βρίσκετε τη γωνία μιας κλίσης εισάγοντας την ανύψωση και τη διαδρομή ως αντίθετη και γειτονική είτε απλώς μετατρέποντας έναν λόγο εφαπτομένης σε μοίρες ή ακτίνια, αυτός ο ανιχνευτής γωνίας σάς δίνει το αποτέλεσμα αμέσως. Εισαγάγετε ένα δεκαδικό ή την αναλογία των απέναντι/παρακείμενων πλευρών από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, επιλέξτε μεταξύ μοιρών και ακτίνων και λάβετε άμεσα αποτελέσματα. Αυτή η αριθμομηχανή τόξου μαυρίσματος σχεδιάζει επίσης ένα διαδραστικό διάγραμμα τριγώνου, σχεδιάζει το γράφημα arctan(x) και εμφανίζει έναν πλήρη πίνακα εφαπτομένων — όλα όσα χρειάζονται για υπολογισμούς τριγωνομετρίας, λογισμού και πλοήγησης σε ένα μέρος.
Αντίστροφη Εφαπτομένη Αριθμομηχανή
Μετά από κάθε υπολογισμό, το τρίγωνο ενημερώνεται ώστε να μπορείτε να δείτε ότι θ = arctan(απέναντι / παρακείμενο).
Το γράφημα επισημαίνει την τρέχουσα είσοδο, ώστε να μπορείτε να συγκρίνετε τον αριθμό με τη γωνία του.
Τι είναι η Αντίστροφη Εφαπτομένη;
Αντίστροφη εφαπτομένη, γραμμένη ως tan⁻¹(x), arctan(x) ή atan(x), επιστρέφει τη γωνία της οποίας η εφαπτομένη ισούται με x. Στα ευρωπαϊκά και γερμανικά εγχειρίδια αυτή η ίδια λειτουργία εμφανίζεται ως arcus tangens ή arcus tangens. Στον μοναδιαίο κύκλο, το arctan επιστρέφει τη γωνία που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε τιμή εφαπτομένης κατά μήκος του κύκλου.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, tan(θ) = απέναντι / παρακείμενο, οπότε το arctan(απέναντι / παρακείμενο) δίνει τη γωνία θ.
Το πεδίο ορισμού του είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί και το κύριο εύρος του είναι (-π/2, π/2) ή (-90°, 90°).
Μετακινήστε το ρυθμιστικό για να δείτε πώς αντιστοιχίζεται οποιαδήποτε πραγματική είσοδος σε γωνία μεταξύ -90° και 90°.
Πώς να υπολογίσετε την αντίστροφη εφαπτομένη;
Χρησιμοποιήστε το θ = arctan(x) όταν το x είναι δεκαδική τιμή ή λόγος.
- Προσδιορίστε την τιμή x.
- Χρησιμοποιήστε μια επιστημονική αριθμομηχανή ή μια συνάρτηση atan() για να υπολογίσετε το arctan(x).
- Μετατρέψτε το αποτέλεσμα εάν χρειάζεστε μοίρες αντί για ακτίνια. Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα ακτίνων επί 180/π για να λάβετε μοίρες ή πολλαπλασιάστε μια τιμή μοιρών επί π/180 για να μετατρέψετε ξανά σε ακτίνια. Είτε έτσι είτε αλλιώς, ο τύπος του αντίστροφου μαυρίσματος παραμένει θ = arctan(x) καθ' όλη τη διάρκεια.
Πληκτρολογήστε μια τιμή για να ενημερώνετε κάθε βήμα αμέσως.
Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον υπολογιστή αντίστροφης εφαπτομένης;
Επιλέξτε μια δεκαδική ή αντίθετη/παρακείμενη είσοδο, επιλέξτε μοίρες ή ακτίνια και πατήστε Υπολογισμός.
Μέθοδοι εισαγωγής
Η λειτουργία δεκαδικού αποδέχεται τιμές όπως 0,5, 1 ή -2,75.
Η λειτουργία αντίθετη / γειτονική χωρίζει πρώτα τις 2 πλευρές και μετά εφαρμόζεται το arctan.
Ο πίνακας αποτελεσμάτων εμφανίζει πολλαπλές μορφές απαντήσεων για γρήγορη χρήση.
Πώς να χρησιμοποιήσετε την αντίστροφη εφαπτομένη σε μια αριθμομηχανή;
Πατήστε το πλήκτρο "2nd" ή "Shift" σε μια επιστημονική αριθμομηχανή (όπως Casio ή TI-84), στη συνέχεια πατήστε το κουμπί "tan" για πρόσβαση στο tan⁻1.
- Ενεργοποιήστε την αριθμομηχανή και ρυθμίστε τη λειτουργία γωνίας σε μοίρες (DEG) ή ακτίνια (RAD).
- Πατήστε «2η» ή «Shift». Αυτό το πλήκτρο ενεργοποιεί τις δευτερεύουσες λειτουργίες που εκτυπώνονται πάνω από κάθε κουμπί. Αυτός ο συνδυασμός πλήκτρων Shift tan είναι καθολικός στα μοντέλα Casio, TI-84 και Sharp. Ρυθμίζετε πάντα τη λειτουργία γωνίας σε DEG ή RAD πριν την πατήσετε, καθώς η ίδια είσοδος επιστρέφει διαφορετικούς αριθμούς ανάλογα με τη λειτουργία.
- Πατήστε το πλήκτρο "tan". Στην οθόνη εμφανίζεται "tan⁻¹(" ή "atan(".
- Πληκτρολογήστε την τιμή και πατήστε "=".
Η παρακάτω εικόνα δείχνει τα ακριβή κουμπιά που πρέπει να πατήσετε σε μια TI-84 επιστημονική αριθμομηχανή.
Εύρεση tan⁻1(1) = 45° σε αριθμομηχανή TI-84
Πώς να υπολογίσετε την αντίστροφη εφαπτομένη χωρίς αριθμομηχανή;
Χρησιμοποιήστε την επέκταση της σειράς arctangent Taylor για να προσεγγίσετε το arctan(x) με το χέρι: arctan(x) = x − x³/3 + x5/5 − x7/7 + … Αυτή η σειρά συγκλίνει όταν |x| ≤ 1.
- Σειρά Taylor (σειρά Maclaurin). Το εργαλείο προσέγγισης της σειράς arctangent χρησιμοποιεί x − x³/3 + x5/5 − x7/7. Περισσότεροι όροι δίνουν μεγαλύτερη ακρίβεια.
- Γνωστές τιμές γωνίας. Απομνημονεύστε κοινά αποτελέσματα: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°.
- Αλγόριθμος CORDIC. Αυτή η μέθοδος σε επίπεδο υλικού υπολογίζει το arctangent μέσω επαναλαμβανόμενων περιστροφών γωνίας.
Επιλέξτε πόσους όρους θα συμπεριλάβετε. Παρακολουθήστε πώς η προσέγγιση συγκλίνει προς την πραγματική τιμή.
Γράφημα αντίστροφης εφαπτομένης
Το γράφημα arctan(x) είναι μια αυξανόμενη καμπύλη σχήματος S που διέρχεται από την αρχή και πλησιάζει το ±π/2.
- Έχει οριζόντιες ασύμπτωτες στο y = -π/2 και y = π/2.
- Είναι περίεργο, άρα arctan(-x) = -arctan(x).
- Πάντα αυξάνεται από αριστερά προς τα δεξιά.
Τοποθετήστε το δείκτη του ποντικιού πάνω από το γράφημα για να ελέγξετε τις ακριβείς τιμές.
Πίνακας εφαπτομένων
Οι αντίστροφες τιμές μαύρισμα στις 0°, 30°, 45°, 60° και 90° εμφανίζονται σχεδόν σε κάθε μάθημα τριγωνομετρίας και αξίζει να τις αφήσετε στη μνήμη. Κάντε κλικ σε οποιαδήποτε σειρά πίνακα για να φορτώσετε αυτήν την τυπική τιμή στην αριθμομηχανή.
| x | arctan(x) Πτυχία | arctan(x) Radians | π Κλάσμα |
|---|---|---|---|
| −∞ | −90° | −1.5708 rad | −π/2 |
| −√3 ≈ −1.7321 | −60° | −1.0472 rad | −π/3 |
| −1 | −45° | −0.7854 rad | −π/4 |
| −1/√3 ≈ −0.5774 | −30° | −0.5236 rad | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 rad | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.5774 | 30° | 0.5236 rad | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 rad | π/4 |
| √3 ≈ 1.7321 | 60° | 1.0472 rad | π/3 |
| +∞ | 90° | 1.5708 rad | π/2 |
Σημείωση για το αντίστροφο της εφαπτομένης
Ο συμβολισμός για το αντίστροφο της εφαπτομένης παίρνει 3 τυπικές μορφές: tan⁻¹(x), arctan(x) και atan(x).
- tan⁻¹(x) Κοινό στους φυσικούς υπολογιστές.
- arctan(x) Πρότυπο στα τυπικά μαθηματικά.
- atan(x) Προγραμματισμός και σημειογραφία λογισμικού.
Μερικοί μαθητές το αποκαλούν ανεπίσημα κατά της εφαπτομένης, καθώς αντιστρέφει αυτό που κάνει η εφαπτομένη, αν και αυτή δεν είναι τυπική μαθηματική ορολογία.
Κάντε κλικ σε κάθε σημειογραφία για να επισημάνετε πού εμφανίζεται στα μαθηματικά, τον προγραμματισμό και τις αριθμομηχανές.
tan⁻¹(x) είναι η πιο κοινή σημείωση σε φυσικές αριθμομηχανές. Ο εκθέτης -1 υποδηλώνει "αντίστροφη συνάρτηση", όχι "1 / tan(x)".
Εύρεση tan-1 αρνητικών αριθμών
Το tan-1 αρνητικών αριθμών επιστρέφει αρνητική γωνία. Επειδή η arctangent είναι περιττή συνάρτηση, arctan(-x) = -arctan(x).
- arctan(-1) = -45° ή -π/4 ακτίνια
- arctan(-√3) = -60° ή -π/3 ακτίνια
Τι είναι το μαύρισμα⁻1 του -1;
Το tan-1 του -1 είναι -45° (-π/4 ακτίνια ή -0,7854 ακτίνια).
Εισαγάγετε οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό για να δείτε πώς το arctan αντιστοιχίζει τις αρνητικές εισόδους σε αρνητικές γωνίες.
Συχνές ερωτήσεις
Απαντήσεις σε συνήθεις ερωτήσεις σχετικά με την αντίστροφη εφαπτομένη.
Ναι, το tan-1 είναι ο τυπικός μαθηματικός συμβολισμός για την αντίστροφη εφαπτομένη, που ονομάζεται επίσης arctangent ή arctan. Ο εκθέτης ⁻1 δεν σημαίνει 1/tan (που είναι συνεφαπτομένη). Αντίθετα, ο tan⁻¹(x) ρωτά: "Ποια γωνία έχει μια εφαπτομένη ίση με x;" Για παράδειγμα, tan-1(1) = 45° επειδή tan(45°) = 1. Μπορείτε επίσης να το δείτε γραμμένο ως arctan(x) ή atan(x) σε γλώσσες προγραμματισμού.
Η εφαπτομένη συνάρτηση παίρνει γωνία και επιστρέφει λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η αντίστροφη εφαπτομένη (arctan) κάνει το αντίστροφο: παίρνει έναν λόγο και επιστρέφει την αντίστοιχη γωνία. Για παράδειγμα, tan(45°) = 1, άρα arctan(1) = 45°. Η εφαπτομένη έχει πεδίο ορισμού όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από περιττά πολλαπλάσια των 90°, ενώ η αντίστροφη εφαπτομένη δέχεται όλους τους πραγματικούς αριθμούς και εξάγει γωνίες μεταξύ -90° και 90° (−π/2 έως π/2 ακτίνια).
Το κουμπί αντίστροφης εφαπτομένης βρίσκεται πάνω από το πλήκτρο μαύρισμα στις περισσότερες επιστημονικές αριθμομηχανές. Για πρόσβαση σε αυτό, πατήστε πρώτα το πλήκτρο 2η ή Shift και μετά πατήστε το κουμπί μαύρισμα. Η οθόνη θα δείξει μαύρισμα⁻1 ή arctan. Σε αριθμομηχανές γραφικών όπως το TI-84, πατήστε το 2ο και μετά το TAN. Στις αριθμομηχανές Casio, πατήστε SHIFT και μετά μαυρίστε.
Χρησιμοποιήστε την επέκταση της σειράς Taylor: arctan(x) = x − x³/3 + x5/5 − x7/7 + ... για |x| ≤ 1. Για κοινές τιμές, απομνημονεύστε τις γωνίες πλήκτρων: arctan(0) = 0°, arctan(1/√3) = 30°, arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο CORDIC. Για τιμές εκτός [−1, 1], χρησιμοποιήστε την ταυτότητα arctan(x) = π/2 − arctan(1/x) για x > 0.
Η αντίστροφη εφαπτομένη του 1 είναι 45° (ή π/4 ακτίνια). Αυτό συμβαίνει γιατί tan(45°) = 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπου η απέναντι και η διπλανή πλευρά είναι ίσες, η γωνία είναι 45°.
Το μαύρισμα μετατρέπει μια γωνία σε λόγο (απέναντι/παρακείμενο), ενώ το αντίστροφο μαύρισμα (arctan) μετατρέπει μια αναλογία ξανά σε γωνία. Το μαύρισμα είναι περιοδικό και μπορεί να παράγει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, ενώ το arctan επιστρέφει πάντα μια μοναδική γωνία στην περιοχή (−90°, 90°).
Ναι, χρησιμοποιήστε τον τύπο =ATAN(value) στο Excel. Αυτό επιστρέφει το αποτέλεσμα σε ακτίνια. Για μετατροπή σε μοίρες, χρησιμοποιήστε το =DEGREES(ATAN(value)). Το Excel υποστηρίζει επίσης =ATAN2(x, y) για arctangent με δύο ορίσματα.
Περιστρέψτε το iPhone σας σε οριζόντιο προσανατολισμό για να αποκαλύψετε την επιστημονική αριθμομηχανή. Πατήστε το 2ο κουμπί για να μεταβείτε σε αντίστροφες λειτουργίες. Το κουμπί μαυρίσματος θα αλλάξει σε μαύρισμα⁻1. Εισαγάγετε την τιμή σας και πατήστε tan⁻1.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η αντίστροφη εφαπτομένη του λόγου απέναντι/γειτονικό ισούται με τη γωνία σε αυτήν την κορυφή. Αν αντίθετο = 3 και γειτονικό = 4, τότε arctan(3/4) ≈ 36,87°.
Υπάρχουν 6 κοινές εφαρμογές: (1) Πλοήγηση και GPS για γωνίες ρουλεμάν, (2) Μηχανική για γωνίες κλίσης, (3) Φυσική για διανύσματα δύναμης, (4) Γραφικά υπολογιστών για περιστροφή, (5) Ηλεκτρολογία για γωνίες φάσης, (6) Αστρονομία για γωνίες ανύψωσης.
Μέσω tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Εάν θ = arctan(x), τότε sin(θ) = x/√(1+x²) και cos(θ) = 1/√(1+x²). Η παράγωγος του arctan(x) είναι 1/(1+x²).
Ναι. Ένας λόγος κλίσης είναι ο ίδιος με τον αντίθετο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Εισαγάγετε την άνοδό σας ως την αντίθετη πλευρά και το τρέξιμό σας ως την διπλανή πλευρά και το εργαλείο επιστρέφει τη γωνία κλίσης τόσο σε μοίρες όσο και σε ακτίνια.
Αυτό το εργαλείο έχει κατασκευαστεί ειδικά για arctangent. Εάν χρειάζεστε μια πλήρη αριθμομηχανή αντίστροφης τριγωνομετρίας που να καλύπτει το arcsin και το arccos μαζί με το arctan, θα χρειαστείτε ένα ευρύτερο εργαλείο αντίστροφης τριγωνομετρίας.