ماشین حساب تانژانت معکوس (که به عنوان ماشین حساب آرک تانژانت نیز شناخته می شود) آرک تانژانت (atan) هر عدد واقعی را محاسبه می کند و زاویه ای را برمی گرداند که تانژانت آن با آن مقدار برابر است. چه در حال یافتن زاویه یک شیب با وارد کردن ارتفاع (rise) و مسافت (run) به عنوان ضلع مقابل و مجاور باشید، و چه صرفاً در حال تبدیل نسبت تانژانت به درجه یا رادیان، این زاویهیاب نتیجه را فوراً به شما میدهد. یک اعشار یا نسبت ضلع مقابل / مجاور از یک مثلث قائم الزاویه وارد کنید، بین درجه و رادیان انتخاب کنید و نتایج فوری بگیرید. این ماشین حساب آرک تان هم یک نمودار مثلث تعاملی رسم می کند، نمودار arctan(x) را رسم می کند و یک جدول کامل تانژانت را نمایش می دهد - همه چیزهایی که برای محاسبات مثلثات، حساب دیفرانسیل و انتگرال و پیمایش در یک مکان نیاز دارید.
تانژانت معکوس
نتیجه
محاسبه شد arctan(1)
45°
درجه 45°
رادیان 0.7854 rad
گرادیان 50 grad
کسری از π π/4
مثلث قائمالزاویه تعاملی
بعد از هر محاسبه، مثلث بهروز میشود تا بتوانید ببینید که θ = arctan(مقابل / مجاور) است.
نمودار تانژانت معکوس
نمودار ورودی فعلی را علامتگذاری میکند تا بتوانید عدد را با زاویه آن مقایسه کنید.
تانژانت معکوس چیست؟
تانژانت معکوس که به صورت tan⁻¹(x)، arctan(x) یا atan(x) نوشته میشود، زاویهای را برمیگرداند که تانژانت آن برابر x باشد.
در یک مثلث قائمالزاویه، tan(θ) = مقابل / مجاور، بنابراین arctan(مقابل / مجاور) زاویه θ را میدهد.
دامنه آن تمام اعداد حقیقی و برد اصلی آن (-π/2, π/2) یا (-90°, 90°) است.
تعاملی: دامنه و برد arctan(x)
نوار لغزنده را حرکت دهید تا ببینید چگونه هر ورودی حقیقی به زاویهای بین -90° و 90° تبدیل میشود.
چگونه تانژانت معکوس را محاسبه کنیم؟
وقتی x یک مقدار اعشاری یا نسبت است، از θ = arctan(x) استفاده کنید.
- مقدار x را شناسایی کنید.
- از یک ماشین حساب علمی یا تابع atan() برای محاسبه arctan(x) استفاده کنید.
- اگر به درجه به جای رادیان نیاز دارید، نتیجه را تبدیل کنید.
تعاملی: محاسبه مرحله به مرحله
یک مقدار تایپ کنید تا هر مرحله فوراً بهروز شود.
1ورودی: x = 1
2arctan(1) = 0.7854 rad
3تبدیل: 0.7854 × 180/π = 45°
چگونه از این ماشین حساب تانژانت معکوس استفاده کنیم؟
ورودی اعشاری یا مقابل/مجاور را انتخاب کنید، درجه یا رادیان را برگزینید و دکمه محاسبه را فشار دهید.
روشهای ورودی
1
مقدار اعشاری
حالت اعشاری مقادیری مانند 0.5، 1 یا -2.75 را میپذیرد.
2
مقابل / مجاور
حالت مقابل / مجاور ابتدا 2 ضلع را بر هم تقسیم کرده و سپس arctan را اعمال میکند.
پنل نتایج چندین فرمت پاسخ را برای استفاده سریع نشان میدهد.
چگونه از تانژانت معکوس در ماشین حساب استفاده کنیم؟
کلید «2nd» یا «Shift» را در یک ماشین حساب علمی (مانند Casio یا TI-84) فشار دهید، سپس دکمه «tan» را برای دسترسی به tan⁻¹ فشار دهید.
- ماشین حساب را روشن کرده و حالت زاویه را روی درجه (DEG) یا رادیان (RAD) تنظیم کنید.
- «2nd» یا «Shift» را فشار دهید. این کلید عملکردهای ثانویه درج شده در بالای هر دکمه را فعال میکند.
- کلید «tan» را فشار دهید. نمایشگر «tan⁻¹(» یا «atan(» را نشان میدهد.
- مقدار را تایپ کرده و «=» را فشار دهید.
راهنمای بصری: یافتن tan⁻¹ در ماشین حساب
تصویر زیر دکمههای دقیقی را که باید در ماشین حساب علمی TI-84 فشار دهید نشان میدهد.
یافتن tan⁻¹(1) = 45° در ماشین حساب TI-84
چگونه تانژانت معکوس را بدون ماشین حساب محاسبه کنیم؟
از بسط سری تیلور آرکتانژانت برای تقریب دستی arctan(x) استفاده کنید: arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … این سری زمانی همگرا میشود که |x| ≤ 1 باشد.
- سری تیلور (سری مکلورن). ابزار تقریب سری آرکتانژانت از x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 استفاده میکند. جملات بیشتر دقت بالاتری میدهند.
- مقادیر زوایای شناخته شده. نتایج رایج را حفظ کنید: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°.
- الگوریتم CORDIC. این روش در سطح سختافزار، آرکتانژانت را از طریق چرخشهای مکرر زاویه محاسبه میکند.
تعاملی: تقریب سری تیلور
تعداد جملات را برای گنجاندن انتخاب کنید. ببینید چگونه تقریب به سمت مقدار واقعی همگرا میشود.
نمودار تانژانت معکوس
نمودار arctan(x) یک منحنی Sشکل صعودی است که از مبدأ میگذرد و به ±π/2 نزدیک میشود.
- دارای مجانبهای افقی در y = -π/2 و y = π/2 است.
- یک تابع فرد است، بنابراین arctan(-x) = -arctan(x).
- همیشه از چپ به راست صعودی است.
تعاملی: نمودار arctan(x)
برای بررسی مقادیر دقیق، نشانگر را روی نمودار نگه دارید.
جدول تانژانت
روی هر سطر جدول کلیک کنید تا آن مقدار استاندارد در ماشین حساب بارگذاری شود.
| x | arctan(x) درجه | arctan(x) رادیان | کسری از π |
|---|---|---|---|
| −∞ | −90° | −1.5708 rad | −π/2 |
| −√3 ≈ −1.7321 | −60° | −1.0472 rad | −π/3 |
| −1 | −45° | −0.7854 rad | −π/4 |
| −1/√3 ≈ −0.5774 | −30° | −0.5236 rad | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 rad | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.5774 | 30° | 0.5236 rad | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 rad | π/4 |
| √3 ≈ 1.7321 | 60° | 1.0472 rad | π/3 |
| +∞ | 90° | 1.5708 rad | π/2 |
نمادگذاری برای معکوس تانژانت
نمادگذاری معکوس تانژانت به ۳ شکل استاندارد است: tan⁻¹(x)، arctan(x) و atan(x).
- tan⁻¹(x) در ماشین حسابهای فیزیکی رایج است.
- arctan(x) استاندارد در ریاضیات رسمی.
- atan(x) نمادگذاری برنامهنویسی و نرمافزار.
تعاملی: مقایسه نمادگذاری
بر روی هر نماد کلیک کنید تا محل ظاهر شدن آن در ریاضیات، برنامهنویسی و ماشین حساب برجسته شود.
tan⁻¹(x) رایجترین نماد در ماشین حسابهای فیزیکی است. بالانویس -1 نشاندهنده «تابع معکوس» است، نه «1 / تانژانت(x)».
یافتن tan⁻¹ اعداد منفی
tan⁻¹ اعداد منفی یک زاویه منفی برمیگرداند. از آنجا که آرکتانژانت یک تابع فرد است، arctan(-x) = -arctan(x).
- arctan(-1) = -45° یا -π/4 رادیان
- arctan(-√3) = -60° یا -π/3 رادیان
tan⁻¹ عدد -1 چقدر است؟
tan⁻¹ عدد -1 برابر است با -45° (-π/4 رادیان یا -0.7854 رادیان).
تعاملی: کاوشگر مقادیر منفی
هر عدد منفی را وارد کنید تا ببینید آرکتان چگونه ورودیهای منفی را به زوایای منفی نگاشت میکند.
arctan(-1) = -45° = -π/4 rad
arctan(1) = 45° ↔ arctan(-1) = -45°
سوالات متداول (FAQ)
پاسخ به سوالات متداول درباره تانژانت معکوس.
بله، tan⁻¹ نماد ریاضی استاندارد برای تانژانت معکوس است که به آن آرکتانژانت (arctangent) یا arctan نیز میگویند. عدد ⁻¹ در بالا به معنای 1/tan (که کتانژانت است) نیست. در عوض، tan⁻¹(x) میپرسد: «کدام زاویه تانژانتی برابر با x دارد؟» برای مثال، tan⁻¹(1) = 45° زیرا tan(45°) = 1. همچنین ممکن است در زبانهای برنامهنویسی آن را به صورت arctan(x) یا atan(x) ببینید.
تابع تانژانت یک زاویه را میگیرد و نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور را در یک مثلث قائمالزاویه برمیگرداند. تانژانت معکوس (arctan) برعکس عمل میکند: یک نسبت را میگیرد و زاویه مربوطه را برمیگرداند. برای مثال، tan(45°) = 1، بنابراین arctan(1) = 45°. تانژانت دارای دامنهای از تمام اعداد حقیقی به جز مضارب فرد 90 درجه است، در حالی که تانژانت معکوس تمام اعداد حقیقی را میپذیرد و زوایایی بین −90° و 90° (−π/2 تا π/2 رادیان) را خروجی میدهد.
دکمه تانژانت معکوس در بیشتر ماشینحسابهای علمی بالای کلید tan قرار دارد. برای دسترسی به آن، ابتدا کلید 2nd یا Shift را فشار دهید و سپس دکمه tan را بزنید. صفحه نمایش tan⁻¹ یا arctan را نشان میدهد. در ماشینحسابهای گرافیکی مانند TI-84، کلید 2nd و سپس TAN را فشار دهید. در ماشینحسابهای کاسیو، کلید SHIFT و سپس tan را فشار دهید.
از بسط سری تیلور استفاده کنید: arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + ... برای |x| ≤ 1. برای مقادیر رایج، زوایای کلیدی را حفظ کنید: arctan(0) = 0°، arctan(1/√3) = 30°، arctan(1) = 45°، arctan(√3) = 60°. همچنین میتوانید از الگوریتم CORDIC استفاده کنید. برای مقادیر خارج از [−1, 1]، از تساوی arctan(x) = π/2 − arctan(1/x) برای x > 0 استفاده کنید.
تانژانت معکوس 1 برابر با 45° (یا π/4 رادیان) است. این به این دلیل است که tan(45°) = 1. در یک مثلث قائمالزاویه که اضلاع مقابل و مجاور آن برابر هستند، زاویه 45 درجه است.
تابع tan یک زاویه را به یک نسبت (مقابل/مجاور) تبدیل میکند، در حالی که تانژانت معکوس (arctan) یک نسبت را دوباره به یک زاویه تبدیل میکند. tan دورهای است و میتواند هر عدد حقیقی را تولید کند، در حالی که arctan همیشه یک زاویه منحصر به فرد در محدوده (−90°, 90°) برمیگرداند.
بله، از فرمول =ATAN(value) در اکسل استفاده کنید. این فرمول نتیجه را به رادیان برمیگرداند. برای تبدیل به درجه، از =DEGREES(ATAN(value)) استفاده کنید. اکسل همچنین از =ATAN2(x, y) برای آرکتانژانت دو آرگومانی پشتیبانی میکند.
آیفون خود را به حالت افقی بچرخانید تا ماشینحساب علمی ظاهر شود. دکمه 2nd را بزنید تا به توابع معکوس سوئیچ کنید. دکمه tan به tan⁻¹ تغییر میکند. مقدار خود را وارد کرده و tan⁻¹ را لمس کنید.
در یک مثلث قائمالزاویه، تانژانت معکوس نسبت مقابل/مجاور با زاویه آن راس برابر است. اگر مقابل = 3 و مجاور = 4 باشد، آنگاه arctan(3/4) ≈ 36.87°.
6 کاربرد رایج وجود دارد: (1) ناوبری و GPS برای زوایای جهتیابی، (2) مهندسی برای زوایای شیب، (3) فیزیک برای بردارهای نیرو، (4) گرافیک کامپیوتری برای چرخش، (5) مهندسی برق برای زوایای فاز، (6) نجوم برای زوایای ارتفاع.
از طریق tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). اگر θ = arctan(x)، آنگاه sin(θ) = x/√(1+x²) و cos(θ) = 1/√(1+x²). مشتق arctan(x) برابر است با 1/(1+x²).
بله. نسبت شیب همان نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور در یک مثلث قائمالزاویه است. ارتفاع (rise) خود را به عنوان ضلع مقابل و مسافت (run) خود را به عنوان ضلع مجاور وارد کنید و ابزار زاویه شیب را بر حسب درجه و رادیان برمیگرداند.
این ابزار به طور خاص برای آرکتانژانت ساخته شده است. اگر به یک ماشین حساب مثلثاتی معکوس کامل نیاز دارید که arcsin و arccos را در کنار arctan پوشش دهد، به ابزار مثلثات معکوس گستردهتری نیاز دارید.