反正切計算機（又稱為 arcus tangent 計算機）可以計算任何實數的反正切值 (atan)，並返回正切值等於該數的角度。無論你係想透過輸入對邊和鄰邊來計算坡度，還是簡單地將正切值轉換為度數或弧度，呢個工具都可以即時為你提供結果。輸入十進制數值或直角三角形的對邊/鄰邊比率，選擇度數或弧度，即可獲得即時結果。呢個反正切計算機仲會繪製互動式三角形圖、畫出 arctan(x) 圖表，並顯示完整的正切表——將三角學、微積分和導航計算所需的一切集中在一個地方。
反正切 計算機
結果
已計算 arctan(1)
45°
度 45°
弧度 0.7854 rad
百分度 50 grad
π 分數 π/4
互動式直角三角形
每次計算後，三角形都會更新，令你可以清楚見到 θ = arctan(對邊 / 鄰邊)。
反正切圖表
圖表會標記目前的輸入值，方便你將數值與角度進行比較。
什麼是反正切？
反正切可以寫成 tan⁻¹(x)、arctan(x) 或 atan(x)，佢會返回正切值等於 x 的角度。喺歐洲和德國的教科書中，呢個函數通常被稱為 arcus tangens。喺單位圓上，arctan 返回圓上對應任何正切值的角度。
喺直角三角形中，tan(θ) = 對邊 / 鄰邊，所以 arctan(對邊 / 鄰邊) 就會得到角度 θ。
反正切的定義域係所有實數，而其主要值域係 (-π/2, π/2) 或 (-90°, 90°)。
互動式：arctan(x) 的定義域和值域
移動滑桿，查看任何實數輸入點樣對應到 -90° 至 90° 之間的角度。
如何計算反正切？
當 x 係十進制值或比率時，請使用 θ = arctan(x)。
- 確定數值 x。
- 使用科學計算機或 atan() 函數來計算 arctan(x)。
- 如果你需要度數而唔係弧度，請將弧度結果乘以 180/π。要轉換回弧度，請將角度值乘以 π/180。
互動式：逐步計算
輸入數值即可即時更新每個步驟。
1輸入: x = 1
2arctan(1) = 0.7854 rad
3轉換: 0.7854 × 180/π = 45°
如何使用此反正切計算機？
選擇十進制或對邊/鄰邊輸入，選擇度數或弧度，然後按「計算」。
輸入方式
1
十進制值
十進制模式接受 0.5、1 或 -2.75 等數值。
2
對邊 / 鄰邊
對邊 / 鄰邊模式會先將兩條邊相除，然後再計算反正切。
結果面板會顯示多種格式的答案，方便快速使用。
如何在計算機上使用反正切？
在科學計算機（如 Casio 或 TI-84）上按「2nd」或「Shift」鍵，然後按「tan」鍵即可使用 tan⁻¹。
- 開啟計算機並將角度模式設置為度 (DEG) 或弧度 (RAD)。
- 按「2nd」或「Shift」以啟用按鈕上方的次要功能。
- 按「tan」鍵，屏幕會顯示「tan⁻¹(」或「atan(」。
- 輸入數值並按「=」。
視覺指南：在計算機上尋找 tan⁻¹
下圖顯示了 TI-84 科學計算機上需要按下的按鈕。
在 TI-84 計算機上計算 tan⁻¹(1) = 45°
如何在不使用計算機的情況下計算反正切？
使用泰勒級數 (Taylor series) 展開來手動估算反正切：arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … 此級數在 |x| ≤ 1 時收斂。
- 泰勒級數 (Maclaurin 級數). 估算工具使用 x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7。項數越多，精度越高。
- 常用角度值. 背熟核心結果：arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°。
- CORDIC 算法. 這是一種硬件級別的方法，通過重複的角度旋轉來計算反正切。
互動式：泰勒級數估算
選擇要包含的項數，觀察估算值如何接近真實值。
反正切圖表
arctan(x) 圖表係一條逐漸增加的 S 形曲線，經過原點並趨向於 ±π/2。
- 它在 y = -π/2 和 y = π/2 有水平漸近線。
- 這是一個奇函數，所以 arctan(-x) = -arctan(x)。
- 它總是從左到右逐漸增加。
互動式：arctan(x) 圖表
將滑鼠懸停在圖表上以查看精確數值。
正切數值表
0°、30°、45°、60° 和 90° 的反正切值喺三邊形課程中非常重要。點擊表格行即可將該標準值加載到計算機中。
| x | arctan(x) 度 | arctan(x) 弧度 | π 分數 |
|---|---|---|---|
| −∞ | −90° | −1.5708 rad | −π/2 |
| −√3 ≈ −1.7321 | −60° | −1.0472 rad | −π/3 |
| −1 | −45° | −0.7854 rad | −π/4 |
| −1/√3 ≈ −0.5774 | −30° | −0.5236 rad | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 rad | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.5774 | 30° | 0.5236 rad | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 rad | π/4 |
| √3 ≈ 1.7321 | 60° | 1.0472 rad | π/3 |
| +∞ | 90° | 1.5708 rad | π/2 |
反正切的符號
反正切的符號有 3 種標準形式：tan⁻¹(x), arctan(x) 和 atan(x)。
- tan⁻¹(x) 實體計算機上最常用。
- arctan(x) 正式數學中的標準用法。
- atan(x) 編程和軟件中的符號。
有些學生會非正式地稱之為 anti-tangent，雖然這並非標準數學術語。
互動式：符號比較
點擊各個符號，查看它們在數學、編程和計算機中的應用位置。
tan⁻¹(x) 是實體計算機上最常見的符號。上標 -1 表示「反函數」，而不是「1 / tan(x)」。
尋找負數的 tan⁻¹
負數的 tan⁻¹ 會返回負的角度。因為反正切是奇函數，所以 arctan(-x) = -arctan(x)。
- arctan(-1) = -45° 或 -π/4 弧度
- arctan(-√3) = -60° 或 -π/3 弧度
-1 的 tan⁻¹ 是多少？
-1 的 tan⁻¹ 是 -45°（-π/4 弧度或 -0.7854 弧度）。
互動式：負值探索器
輸入任何負數，查看反正切如何將負輸入映射到負角度。
arctan(-1) = -45° = -π/4 rad
arctan(1) = 45° ↔ arctan(-1) = -45°
常見問題
有關反正切常見問題的解答。
是的，tan⁻¹ 是反正切的標準數學符號，也稱為 arctangent 或 arctan。上標 ⁻¹ 並不代表 1/tan（那是餘切 cotangent），而是表示『哪個角度的正切值等於 x？』。例如，tan⁻¹(1) = 45°，因為 tan(45°) = 1。
正切函數輸入一個角度並返回直角三角形中對邊與鄰邊的比值。反正切則相反：它輸入一個比值並返回對應的角度。例如，tan(45°) = 1，所以 arctan(1) = 45°。
在大多數科學計算機上，反正切按鈕位於 tan 鍵上方。要使用它，請先按 2nd 或 Shift 鍵，然後按 tan 按鈕。屏幕將顯示 tan⁻¹ 或 arctan。